Question

【題目】如圖①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E在AC上（且不與點A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．

（1）請直接寫出線段AF，AE的數量關系；

（2）①將△CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE，請判斷線段AF，AE的數量關系，并證明你的結論；

②若AB=2，CE=2，在圖②的基礎上將△CED繞點C繼續逆時針旋轉一周的過程中，當平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度．

Answer 1

【答案】（1）AF= （2）結論：AF= （3）4或2

【解析】試題分析：（1）如圖①中，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可得到結論AF=AE；

（2）如圖②中，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA，再證明△AEF是等腰三角形即可；

（3）如圖③中，連接EF，延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可.

試題解析：（1）AF=

如圖2，結論：AF=

理由：連接EF，DF交BC于K，

∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°

∴∠EKF=180°=∠DKE=135°，

∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKG=∠C，∴DK=DC，

∵DF=AB=AC，∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

∴△EKF≌△EDA

∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE

（3）4或2