Question

【題目】如圖點分別是邊長為4cm的等邊三角形邊動點，點從頂點沿向點運動，點同時從頂點沿向運動，它們的速度都是，當到達終點時停止運動，設運動時間為t秒，連接交于點M．

（1）求證：；

（2）點在運動的過程中，變化嗎？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的度數；

（3）當為何值時是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不變，；（3）當t=秒或t=秒時三角形是直角三角形．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可知AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，結合AP＝BQ即可得證；
（2）由△APC≌△BQA知∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質可證得∠CMQ＝60°；
（3）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質可得到關于t的方程，則可求得t的值．

解：（1）

因為是等邊三角形，所以

因為

所以

（2） 不變

因為

所以

因為是外角，

所以，

（3）由題意得：，

當時，因為

所以

當時，

所以當秒或秒時三角形是直角三角形．