Question

【題目】已知∠MAN=120°，點C是∠MAN的平分線AQ上的一個定點，點B，D分別在AN，AM上，連接BD．

【發現】

（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，則∠BCD=　 　°，△CBD是　 　三角形；

【探索】

（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，請判斷△CBD的形狀，并證明你的結論；

【應用】

（3）如圖3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若點G，H分別在射線OE，OF上，且△PGH為等邊三角形，則滿足上述條件的△PGH的個數一共有　 　．（只填序號）

①2個②3個③4個④4個以上

Answer 1

【答案】（1）60，等邊；（2）等邊三角形，證明見解析（3）④.

【解析】試題分析：（1）利用四邊形的內角和即可得出∠BCD的度數，再利用角平分線的性質定理即可得出CB，即可得出結論；

（2）先判斷出∠CDE=∠ABC，進而得出△CDE≌△CFB（AAS），得出CD=CB，再利用四邊形的內角和即可得出∠BCD=60°即可得出結論；

（3）先判斷出∠POE=∠POF=60°，先構造出等邊三角形，找出特點，即可得出結論．

試題解析：（1）如圖1，連接BD，

∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，

根據四邊形的內角和得，∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，

∵AC是∠MAN的平分線，CD⊥AM．CB⊥AN，

∴CD=CB，（角平分線的性質定理），

∴△BCD是等邊三角形；

故答案為：60，等邊；

（2）如圖2，同（1）得出，∠BCD=60°（根據三角形的內角和定理），

過點C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，

∵AC是∠MAN的平分線，

∴CE=CF，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠CDE=∠ABC，

在△CDE和△CFB中，

，

∴△CDE≌△CFB（AAS），

∴CD=CB，

∵∠BCD=60°，

∴△CBD是等邊三角形；

（3）如圖3，

∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，

∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，連接PG'，

∴△G'OP是等邊三角形，此時點H'和點O重合，

同理：△OPH是等邊三角形，此時點G和點O重合，

將等邊△PHG繞點P逆時針旋轉到等邊△PG'H'，在旋轉的過程中，

邊PG，PH分別和OE，OF相交（如圖中G'，H'）和點P圍成的三角形全部是等邊三角形，（旋轉角的范圍為（0°到60°包括0°和60°），

所以有無數個；

理由：同（2）的方法．

故答案為④．