Question

【題目】（）如圖，中，，是上任意一點，以點為中心，取旋轉角等于，把逆時針旋轉，畫出旋轉后的圖形．

（）如圖，等邊中，為邊上一點，在的延長線上，且．

求證：．

（）已知：如圖，在中，，，為邊上一點，為延長線上一點，且，已知，．寫出求線段長的具體思路（即添加輔助線的方法，推導的具體步驟詳寫，其它的寫出關鍵步驟或結果即可），并給出最后結果．

Answer 1

【答案】（）見解析；（）見解析；（）

【解析】

（1）根據要求作圖即可；

（2）延長BC至點F，使CF=BD，連結EF．易證△CEF為等邊三角形，得到EF=CF，∠F=60°，從而可證△ABD≌△DFE，即可得到結論．

（3）過點C作D′ M′⊥BC，并取CD′=CM′=BD=BM．連結DD′、MM′、DM′，得到DD′=DM′，∠D′ DC=∠M′ DC，由（1）（2）可得∠D′ DC=∠BAD=7.5°，故∠CDM′=7.5°，可證得△AMM′和△ADD′為等腰直角三角形，得到AD=AD′=1，AM=AM′，DD′==DM′，∠ADD′=45°，∠ADM′=45°+7.5°+7.5°=60°．過A作AE⊥DM′于點E，得到∠DAE=30°，由30°直角三角形的性質得到DE，AE的長，進而得到EM′的長，由勾股定理即可得到結論．

（）如圖，即為所求，

（）延長至點，使，連結．

∵為等邊三角形，

∴，

∴，

∴為等邊三角形．

∴．

∵，

∴，

又∵，

∴≌，

∴，得證．

（）過點作，并取，

連結、、，

則，

由（）（）可得，

∴，

由，

可證得≌≌，

所以和為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

過作于點，

∴，

∴，

∴，

∴

．