Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點F．

【1】求證：CF=BF；

【2】若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長

Answer 1

【答案】

【1】連結AC，如圖

∵C是弧BD的中點 ∴∠BDC=∠DBC

又∠BDC=∠BAC

在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC，

∠BCE=∠DBC

∴ CF=BF 因此，CF=BF． 3分

【2】證法一：作CG⊥AD于點G，

∵C是弧BD的中點 ∴∠CAG=∠BAC，

即AC是∠BAD的角平分線．

∴ CE=CG，AE="AG" ，在Rt△BCE與Rt△DCG中，CE="CG" ，CB=CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE="DG" ，∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即 6-BE=2+DG

∴2BE=4，即BE=2 又 △BCE∽△BAC，∴

（舍去負值），∴7分

（2）證法二：∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB

∴∠BEF=，

在與中，

∵

∴∽，則

即， ∴

又∵， ∴

利用勾股定理得：

又∵△EBC∽△ECA則，即則

∴即

∴∴

【解析】試題分析：連接AC，根據已知條件利用等角對等邊可以得到CF=BF；作CG⊥AD于點G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根據邊之間的關系可求得BE的值，再根據相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根據相似三角形的對應邊成比例，可得到BC2=BEAB，這樣便求得BC的值，注意負值要舍去．

試題解析：（1）連接AC，如圖

∵C是弧BD的中點

∴∠BDC=∠DBC

又∵∠BDC=∠BAC

在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB

∴∠BCE=∠BAC

∠BCE=∠DBC

∴CF=BF；

（2）作CG⊥AD于點G，

∵C是弧BD的中點

∴∠CAG=∠BAC，

即AC是∠BAD的角平分線．

∴CE=CG，AE=AG

在Rt△BCE與Rt△DCG中，

CE=CG，CB=CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）

∴BE=DG

∴AE=AB-BE=AG=AD+DG

即6-BE=2+DG

∴2BE=4，即BE=2

又∵△BCE∽△BAC

∴BC2=BEAB=12

BC=±2（舍去負值）

∴BC=2．