Question

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，AD＝6，將紙片沿對角線AC對折，點D落在點P處．

（1）填空：∠BCA的大小是　 　；

（2）如圖2，呂家三少將折疊后的紙片沿著AC剪開，把△APC繞點A逆時針旋轉α角（0°≤α≤90°），得到△AP′C′，點P，C分別對應點P′，C′，P′A交BC于點E，P′C′交CD于點F．

①點α＝15時，求證：AB＝BE；

②填空：當點P′落在邊BC上時，連接AF，則tan∠DAF的值為　 　；

③填空：在②的條件下，將△AP′C′沿著AP′折疊至△AP′C″處，點C′對應點C″，AC″交BC于點G，則線段BG的長度為　 　．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①詳見解析；②③

【解析】

(1)求出∠ACB的正切值即可解決問題；

(2)①證明∠BAE＝45°即可解決問題；

②利用相似三角形的性質求出CF即可解決問題；

③如圖3﹣2中，作GH⊥AP′于H，設GH＝x．構建方程求出x，再利用勾股定理求解即可．

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，

∴tan∠ACB＝，

∴∠ACB＝30°，

故答案為：30°；

(2)①如圖2﹣1中，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠B＝90°，

∴∠CAB＝60°，

∵α＝15°，

∴∠CAE＝15°，

∴∠BAE＝45°，

∴∠AEB＝∠EAB＝45°，

∴BA＝BE；

②如圖2﹣2中，

在Rt△ABP′中，BP′＝=2，

∴CP′＝6﹣2，

∵∠CFP′+∠FP′C＝90°，∠FP′C+∠AP′B＝90°，

∴∠AP′B＝∠CFP′，

∵∠FCP′＝∠B＝90°，

∴△FCP′∽△P′BA，

∴，

∴，

∴CF＝6﹣4，

∴DF＝2﹣(6﹣4)＝6﹣6，

∴tan∠DAF＝＝﹣，

故答案為：﹣；

③如圖2-3中，作GH⊥AP′于H，設GH＝x，

由△P′HG∽△P′BA，可得P′H＝x，

∵∠GAH＝30°，∠GHA＝90°，

∴AH＝x，

∵AP′＝6，

∴x+x＝6，

∴x＝6(﹣)，

∴AG＝2GH＝12(﹣)，

在Rt△ABG中，BG＝＝8﹣18，

故答案為：﹣18．