Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，猜想線段DE、AD與BE有怎樣的數量關系？請寫出這個關系（不用證明）

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）DE=CD+CE=BE+AD；見解析；（2）DE=CD﹣CE=BE﹣AD．見解析

【解析】

試題分析：（1）先利用等角的余角證明∠DAC=∠ECB，然后根據“AAS”證明△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，于是可得DE=CD+CE=BE+AD；

（2）與（1）一樣根據“AAS”證明△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，于是可得DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

解：（1）DE=AD+BE．理由如下：如圖1，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CED=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD+CE=BE+AD；

（2）DE=BE﹣AD．理由如下：如圖2，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CED=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．