Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC于點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB的延長線于F，下列結論：

①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，

②AP＝FP，

③AE＝AO，

④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36，

⑤CEEF＝EQDE．

其中正確的結論有（　　）

A.5個B.4個C.3個D.2個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①正確:證明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性質即可得出答案；

②正確：利用四點共圓證明∠AFP=∠ABP=45°即可；

③正確：設BE=EC=a，求出AE，OA即可解決問題；

④錯誤：通過計算正方形ABCD的面積為48；

⑤正確：利用相似三角形的性質證明即可.

①正確：如圖，連接OE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，

∴∠BOC=90°，

∵BE=EC，

∴∠EOB=∠EOC=45°，

∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，

∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正確；

②正確：如圖，連接AF，

∵PF⊥AE，

∴∠APF=∠ABF=90°，

∴A，P，B，F四點共圓，

∴∠AFP=∠ABP＝45°，

∴∠PAF=∠PFA＝45°，

∴PA=PF，故②正確；

③正確：設BE=EC=a，則AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，

∴，即AE＝AO，故③正確；

④錯誤：根據對稱性可知，，

∴==2，

∵OB=OD，BE=EC，

∴CD=2OE，OE⊥CD，

∴ ， ，

∴， ，

∴，

∴，故④錯誤；

⑤正確：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，

∴，

∴，

∴EQ=PE，

∴CEEF=EQDE，故⑤正確；

綜上所訴一共有4個正確，故選：B．