Question

【題目】已知中，，M是BC的中點．如圖．

（1）以M為圓心．MB為半徑，作半圓M﹔

（2）分別以B，C為圓心，BA，CA為半徑作弧，兩弧交于點D；

（3）連接AM，AD，CD；

（4）作線段CD的中垂線，分別交線段CD于點F，半圓M于點G，連接GC；

（5）以點G為圓心，線段GC為半徑，作．

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中：

①點A在半圓M上；②；③；④；⑤；⑥．一定正確的是________．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據圓周角定理，弧、弦、圓心角的關系定理，相似三角形的判定方法，以及其他與圓有關的性質及定理即可判斷．

解：由作圖可知，以M為圓心，BC為直徑的半圓是的外接圓，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAC是直徑所對的圓周角

∴點A在半圓M上，故①正確；

由分別以B，C為圓心，BA，CA為半徑作弧，兩弧交于點D可知，

CA、CD是以圓C的半徑，

∴，故②正確；

∵在以M為圓心、BM為半徑的圓中，在以B為圓心、BA為半徑的圓中，

∴，故③錯誤；

∵AM＝BM，AC＝CD，

∴∠ABM＝∠BAM，∠ADC＝∠DAC

又∠BAC＝∠ABM＋∠ACB＝90°，

∠AFC＝∠CAF＋∠ACF＝90°

∴∠ABM＝∠DAC

∴∠MAB＝∠ADC，∠AMB＝∠ACD

∴△AMB∽△ADC，故④正確；

在以點M為圓心、BC為直徑的圓中，BC是直徑，CG是該圓的一條弦，

∴BC＞CG ，即BC≠CG，故⑤錯誤；

∵作線段CD的中垂線，

∴CF＝CD＝AC，

∴∠CGF＝∠ABC＝∠BAM，

∴∠CGF≠∠BAM，故⑥錯誤，

綜上所述：①②④正確，

故答案為：①②④．