Question

【題目】如圖，⊙O為Rt△ABC的外接圓，弦AC的弦心距為5.

（1）尺規(guī)作圖：作出∠BOC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦AC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的一般作法作圖；以O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OB，OC于兩點(diǎn)，再分別以兩交點(diǎn)為圓心，大于兩交點(diǎn)距離的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)O與該交點(diǎn)，交圓于點(diǎn)E，OE即為所求.（2）設(shè)OE與BC相交于點(diǎn)F，作OD⊥AC,交AC于點(diǎn)D，設(shè)⊙O的半徑為x，則，，利用勾股定理,求得半徑長(zhǎng)，證四邊形ODCF為矩形，求出CD;即可求得AC.

（1）OE為所求：

（2）設(shè)OE與BC相交于點(diǎn)F，作OD⊥AC,交AC于點(diǎn)D

∵OB=OC,OE平分∠BOC

∴OE⊥BC

∴EF=3

∵

∴四邊形ODCF為矩形

∴CD=OF

設(shè)⊙O的半徑為x

則

∴

∵

∴

解得