Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’.

（1）如圖1，當(dāng)PB=4時(shí)，若點(diǎn)B’恰好在AC邊上，則AB’的長度為_____；

（2）如圖2，當(dāng)PB=5時(shí)，若直線l//AC，則BB’的長度為 ；

（3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動過程中，若直線l始終垂直于AC，△ACB’的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；

（4）當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）5；（3）面積不變，S△ACB’=；（4）24+4

【解析】

(1)證明△APB′是等邊三角形即可解決問題；

(2)如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E，連接B B′交PE于O，證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問題；

(3)如圖3中，結(jié)論：面積不變，證明B B′//AC即可；

(4)如圖4中，當(dāng)PB′⊥AC時(shí)，△ACB′的面積最大，設(shè)直線PB′交AC于點(diǎn)E，求出B′E即可解決問題.

(1)如圖1，∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，

∵PB=4，

∴PB′=PB=PA=4，

∵∠A=60°，

∴△APB′是等邊三角形，

∴AB′=AP=4，

故答案為：4；

(2)如圖2，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E，連接B B′交PE于O，

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，

∴△PEB是等邊三角形，

∵PB=5，B、B′關(guān)于PE對稱，

∴BB′⊥PE，BB′=2OB，

∴OB=PB·sin60°=，

∴BB′=5，

故答案為：5；

(3)如圖3，結(jié)論：面積不變.

過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，

則有BE=AB·sin60°=，

∴S△ABC==16，

∵B、B′關(guān)于直線l對稱，

∴BB′⊥直線l，

∵直線l⊥AC，

∴AC//BB′，

∴S△ACB’=S△ABC=16；

(4)如圖4，當(dāng)B′P⊥AC時(shí)，△ACB′的面積最大，

設(shè)直線PB′交AC于E，

在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，

∴PE=PA·sin60°=，

∴B′E=B′P+PE=6+，

∴S△ACB最大值=×(6+)×8=24+4.