Question

【題目】已知四個半圓彼此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并且與直線y=x相切，設半圓C1、C2、C3、C4的半徑分別是r1、r2、r3、r4 ， 則當r1=1時，r4=（　　）

A. 3 B. 32 C. 33 D. 34

Answer 1

【答案】C

【解析】

設三個半圓與直線y=x分別相切于A、B、C點，分別連接圓心與切點，根據切線的性質得到三個直角三角形，再由直線OC的方程得到直線的傾斜角為30°，根據30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到OC1=2C1A，OC2=2C2B，OC3=2C3C，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r1、r2、r3間的關系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此規律可歸納出r4的值．

設半圓C1、半圓C2、半圓C3直線y=x分別相切于點A,B,C,連接C1A,C2B,C3C，

則C1A⊥OA,C2B⊥OB,C3C⊥OC，

∵tan∠COC1=，

∴∠COC1=30°，

又∵三半圓彼此相外切，

∴OC1=2C1A=2r1,OC2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2,OC3=2C3C=OC2+r2+r3=3r1+2r2+r3=2r3，

∴2r2=3r1+r2,3r1+2r2+r3=2r3，

∴r2=3r1,r3=3r1+2r2，

∵r1=1=30，

∴r2=3=31，

∴r3=9=32，

∴按此規律歸納得：rn=3n1，

∴r4=33.

故答案選：C.