Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=，點P在AB邊上，⊙P的半徑為定長.當點P與點B重合時，⊙P恰好與AC邊相切；當點P與點B不重合時，⊙P與AC邊相交于點M和點N．

（1）求⊙P的半徑；

（2）當AP=時，試探究△APM與△PCN是否相似，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）半徑為3；（2）相似，理由見解析.

【解析】（1）如圖，作BD⊥AC，垂足為點D，⊙P與邊AC相切，則BD就是⊙P的半徑，利用解直角三角形得出BD與AD的關系，再利用勾股定理可求得BD的長；

（2）如圖，過點P作PH⊥AC于點H，作BD⊥AC，垂足為點D，根據垂徑定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的長，從而求出AM、NC的長，然后求出、的值，得出=，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似即可證明.

（1）如圖，作BD⊥AC，垂足為點D，

∵⊙P與邊AC相切，

∴BD就是⊙P的半徑，

在Rt△ABD中，tanA= ，

設BD=x，則AD=2x，

∴x2+(2x)2=152，

解得：x=3，

∴半徑為3；

（2）相似，理由見解析，

如圖，過點P作PH⊥AC于點H，作BD⊥AC，垂足為點D，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

在Rt△AHP中，tanA=，

設PH=y，AH=2y，

y2+（2y）2=（6）2

解得：y=6（取正數），

∴PH=6，AH=12，

在Rt△MPH中，

MH==3，

∴MN=2MH=6，

∴AM=AH-MH=12-3=9，

NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，

∴，，

∴=，

又∵PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠AMP=∠PNC，

∴△AMP∽△PNC.