Question

【題目】如圖1，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB垂足為E，P是BA延長線上一點，且CA平分∠PCD．

（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）連接DO并延長與⊙O相交于點M，若，，求AC的長；

（3）如圖（2），在（2）的條件下，連接AM與CD交于N，連接ON，求的值．

Answer 1

【答案】（1）CP是⊙O切線，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OC，根據角平分線的定義得到，再證，根據切線的判定定理解答即可；

（2）由切線性質可證∠OCD=∠P，進而可得∠D=∠OCD=∠P，利用三角函數求出OC長，進而求出CE、OE長，再在中即可求出AC；

（3）由，根據（2）中線段長求出它們的三角函數值，再解三角形即可解答問題，

（1）CP是⊙O切線，

證明：如解圖（1），連接OC，

∵AC平分∠PCD，

∴，

又∵，

∴，

又∵OA⊥CD，

∴

∴OC⊥CP，

∴CP是⊙O切線．

（2）解：∵，

∴，

又∵OC=OD，

∴，

∴

∴，

，

設，則，

，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

在中．

（3）如解圖（2），過O作，

∴MG=AG，

∵，

∴，

由（2）可得，，

∴，

∴，

又∵OM=OA，

∴∠MAO=∠M，

∴=，

∴，

∴

．