Question

【題目】如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA，若點M在DE上，且DC＝DM．則下列結論中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③線段DC所在的直線垂直平分線AB；④ME＝BD；正確的有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由等腰三角形的性質可判斷①，由“SSS”可證△ADC≌△BDC，可判斷②，由全等三角形的性質和等腰三角形的性質可判斷③，由“AAS”可證△ACD≌△ECM，可判斷④．

解：∵AD=BD，∠BAD=30°，

∴∠BAD=∠ABD=30°，

∴∠ADB=120°,

故①正確;

∵AC=BC，AD=BD，CD=CD,

∴△ADC≌△BDC（SSS）,

故②正確;

∵△ADC≌△BDC

∴∠ACD=∠BCD，且AC=BC

∴線段DC所在的直線垂直平分線AB,

故③正確;

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠CAB=∠CBA,

∴∠CAD=∠CBD=15°,

∵CA=CE,

∴∠E=∠CAD=15°,

∵∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM,

∴∠CDE=∠CMD=60°,

∴∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE,

∴△ACD≌△ECM（AAS）,

∴AD=ME=BD,

故④正確,

故選：D．