Question

【題目】如圖，，點是直線，之間的一點，連接、.

（1）問題發現：

①若，，則 ．

②猜想圖中、、的數量關系，并證明你的結論.

（2）拓展應用:

如圖，，線段把這個封閉區域分為、兩部分（不含邊界），點是位于這兩個區域內的任意一點（不在邊界上），請直接寫出、、的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）①，②，見解析；（2）當點位于區域時， ，當點位于區域時， .

【解析】

（1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質即可得出結論；②、根據①的過程可得出結論；
（2）根據題意畫出圖形，再根據平行線的性質即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的關系．

解：（1）

①如圖1，過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=45°，∠C=30°，
∴∠1=∠A=45°，∠2=∠C=30°，
∴∠AEC=∠1+∠2=75°；

②猜想： ．

理由：如圖，過點作，

∵

∴（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴，（兩直線平行，內錯角相等），

∴（等量代換）；

（2）

當點位于區域時， ，

理由：過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BME+∠MEF=180°，∠DNE+∠NEF=180°，
∴∠EMB+∠END+∠MEN=360°；

當點位于區域時， .

理由：過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BMN=∠FEM，∠DNE=∠FEN，
∴∠EMB+∠END=∠MEF+∠NEF=∠MEN．

故答案為：（1）①，②，見解析；（2）當點位于區域時， ，當點位于區域時， .