Question

【題目】如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B．已知拋物線 過點A和B，與y軸交于點C．

（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象．

（2）點Q（8，m）在拋物線上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ＋PB的最小值．

（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）C（0，2）；（2）；（3）y=x.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可知點A，B的坐標分別為（2，0），（6，0），代入函數(shù)解析式即可求得拋物線的解析式，即可得點C的坐標；

（2）根據(jù)圖象可得PQ+PB的最小值即是AQ的長，所以拋物線對稱軸l是x=4．所以Q（8，m）拋物線上，∴m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；

（3）此題首先要證得OE∥CM，利用待定系數(shù)法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．

試題解析：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），

∵拋物線y=x2+bx+c過點A和B，

則

解得

則拋物線的解析式為y=x2-x+2．

故C（0，2）．

（說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）

（2）如圖①，

拋物線對稱軸l是x=4．

∵Q（8，m）在拋物線上，

∴m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，

∴AQ=．

又∵B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，

∴PQ+PB的最小值=AQ=2．

（3）如圖②，連接EM和CM．

由已知，得EM=OC=2．

∵CE是⊙M的切線，

∴∠DEM=90°，

則∠DEM=∠DOC．

又∵∠ODC=∠EDM．

故△DEM≌△DOC．

∴OD=DE，CD=MD．

又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．

則OE∥CM．

設CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過點C（0，2），M（4，0），

∴

解得

直線CM的解析式為y＝x+2．

又∵直線OE過原點O，且OE∥CM，

∴OE的解析式為y=x或y=0.5x．