Question

【題目】如圖，在中，，，．點從出發沿方向以每秒的速度向終點運動．點從出發沿方向以每秒的速度向點運動、同時當點運動停止時，點隨之停止運動．過點作交邊于點，將繞的中點旋轉180°得到．過點作交射線于點，以為邊向右下方作正方形，設點的運動時間為（秒）．

（1）直接寫出的長度（用含的代數式表示）．

（2）當點落在上時，求的值．

（3）當正方形與有重合部分時，求正方形與重合圖形部分的周長與時間的函數解析式．

（4）當直線與的某一邊垂直時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，=52t-30；當時，=12t；當時，=-6t+15；（4），，．

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB的長，可得cosA=，利用距離=速度×時間可求出AD=5t，利用∠A的余弦值即可得答案；

（2）如圖，由旋轉的性質可得四邊形AGFD是平行四邊形，∠FDG=∠AGD=90°，可得∠HGF=∠A，根據三角函數的定義可得tan∠B=，根據距離=速度×時間可求出BE=4t，利用∠B的正切值可用t表示出PE的長，由正方形的性質可得EH=PE，當點F落在上時可得四邊形FDGH是矩形，可得FD=HG，即可證明HG=AG，根據BE+EH+HG+AG=AB=10列方程即可求出t值；

（3）先分別求出DG與HQ重合、點F落在PE上、DG與PE重合時的t值，再根據各時間段中l與t當關系式即可；

（4）分QF⊥BC、QF⊥AB、QF⊥AC三種情況，利用∠A的三角函數及線段的和差關系分別求出t值即可．

（1）∵AC=8，BC=6，

∴AB==10，

∴cos∠A=，sin∠A=，tan∠A=，

∵點D的速度為每秒5cm，

∴AD=5t，

∴AG=AD·cosA=5t×=4t．

（2）∵將繞的中點旋轉180°得到，

∴四邊形AGFD是平行四邊形，∠FDG=∠AGD=90°，AG=FD，

∵點落在上，DG⊥AB，四邊形EPQH是正方形，

∴∠FHG=∠DGH=∠FDG=90°，

∴四邊形FDGH是矩形，

∴FD=HG，

∴HG=AG=4t，

∵AC=8，BC=6，∠BCA=90°，

∴tan∠B==，

∵點E的速度為每秒4cm，

∴BE=4t，

∴PE=BE·tan∠B=t，

∵四邊形EPQH是正方形，

∴EH=PE=t，

∵BE+EH+HG+AG=AB=10，

∴4t+t+4t+4t=10，

解得：．

（3）∵AD=5t，AG=4t，

∴DG=3t，

如圖，當DG與HQ重合時，

∵BE=4t，EH=PE=t，AG=4t，

∴4t+t+4t=10，

解得：t=，

如圖，當點F落在PE上時，

∵BE=4t，EG=DF=4t，AG=4t，

∴4t+4t+4t=10，

解得：t=，

如圖，當DG與PE重合時，

∵BE=4t，AG=4t，

∴4t+4t=10，

解得：t=，

①如圖，當時，FD、FG分別交QH于M、N，

∵BE=4t，EH=PE=t，AG=4t，

∴HG=10-4t-4t-t=10-t，

∵四邊形MDGH是矩形，

∴MB=GH=10-t，

∴FM=FD-MD=4t-(10-t)=t-10，

∵∠F=∠A，

∴MN=FM·tan∠A=FM=13t-，FN==FM=，

∴l=FM+MN+FN=52t-30．

②當時，重合部分的周長即是△FDG當周長，

∴l=3t+4t+5t=12t．

③如圖，當時，FD、FG分別交PE于M、N，

∵BE=4t，AG=4t，

∴EG=MD=10-8t，

∵∠EGN=∠A，

∴NE=EG·tan∠A=-6t，NG==-10t，

∴MN=MN-NE=DG-NE=3t-（-6t）=9t-，

∴l=MN+NG+DG+MD=9t-+-10t+3t+10-8t=-6t+15，

綜上所述：當時，l=52t-30；當時，l=12t；當時，l= -6t+15．

（4）①如圖，當FQ⊥BC時，

∵四邊形AGFD是平行四邊形，

∴FG//AC，

∵∠BCA=90°，

∴GF⊥BC，

∴點Q在直線GF上，

∵AG=4t， QH=PE=EH=t，

∴HG=10-4t-4t-t=10-t，

∵∠FDN=∠A，

∴QH=HG·tan∠A，即t=（10-t），

解得：，

②由（2）可知，當點F落在QH上時，DF⊥AB，此時，

③如圖，當FQ⊥AC時，直線FQ交AB于M，

∵FQ⊥AC，FG//AC，

∴FQ⊥FG，

∵∠A+∠QMH=90°，∠MQH+∠QMH=90°，

∴∠MQH=∠A，

∵QH=PE=t，FG=AD=5t，

∴MH=QH·tan∠A=4t，MG==t，

∵BE=4t，AG=4t，EH=t，

∴HG=10-t，

∵MG=MH+HG，即t=4t+10-t，

解得：，

綜上所述：直線與的某一邊垂直時，或或．