Question

【題目】四邊形是正方形，是直線上任意一點，于點，于點.當點G在BC邊上時（如圖1），易證DF-BE=EF.

（1）當點在延長線上時，在圖2中補全圖形，寫出、、的數量關系，并證明；

（2）當點在延長線上時，在圖3中補全圖形，寫出、、的數量關系，不用證明.

Answer 1

【答案】（1）圖詳見解析，BE＝DF+EF，證明詳見解析；（2）圖詳見解析，EF＝DF+BE.

【解析】

（1）根據題意，補全圖形，DF、BE、EF的數量關系是：BE＝DF+EF，易證△ABE≌△DAF，根據全等三角形的性質可得AF＝BE，DF＝AE， 由此可得BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF； （2）根據題意，補全圖形，DF、BE、EF的數量關系是：EF＝DF+BE；易證△ABE≌△DAF，根據全等三角形的性質可得AF＝BE，DF＝AE， 由此可得EF＝AE+AF＝DF+BE．

（1）如圖2，DF、BE、EF的數量關系是：BE＝DF+EF，

理由是：∵ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD=90°．

∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF＝BE，DF＝AE，

∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；

（2）如圖3，DF、BE、EF的數量關系是：EF＝DF+BE；

理由是：∵ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD=90°．

∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF＝BE，DF＝AE，

∴EF＝AE+AF＝DF+BE．