Question

【題目】如圖，D是△ABC的BC邊上一點，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應點E落在⊙O上．

（1）求證：AE＝AB．

（2）填空：

①當∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2時，邊BC的長為　 　．

②當∠BAE＝　 　時，四邊形AOED是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①3；②60°

【解析】

（1）利用折疊的性質得出AC=AE，∠C=∠AED，再判斷出∠C=∠ABC，得出AB=AC，即可得出結論；

（2）①先求出EF=1，再判斷出∠AEB=∠ADB，利用銳角三角函數求出AE，進而求出AB，即可得出結論；

②先判斷出△AOD是等邊三角形，得出∠ADO=60°，進而求出∠ADE=120°，再求出∠C=∠ABC=∠DAC=30°，即可求出∠BAC=120°，利用折疊的性質求出∠CAE=60°，即可得出結論．

（1）證明：由折疊知，AC＝AE，∠C＝∠AED，

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠C＝∠ABC，

∴AB＝AC，

∴AE＝AB；

（2）①如圖1，過點A作AF⊥BE于F，

由（1）知，AE＝AB，

∴EF＝BE＝1，

∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB＝，

∴cos∠AEB＝，

在Rt△AFE中，cos∠AEB＝＝，

∴AE＝3EF＝3，

由（1）知，AE＝AB，

∴AB＝3，

由（1）知，AB＝AC，

∵∠CAB＝90°，

∴BC＝AB＝3，

故答案為3；

②如圖2，

∵四邊形AOED是菱形，

∴DE＝OA＝AD，

連接OD，

∴OA＝OD，

∴AD＝OA＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠ADO＝60°，

同理：∠ODE＝60°，

∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，

由折疊知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，

∴∠ADC＝120°，

∵AD＝DE，

∴CD＝AD，

∴∠DAC＝∠C＝（180°﹣∠ADC）＝30°，

由（1）知，∠ABC＝∠C，

∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝120°，

由折疊知，∠DAE＝∠DAC＝30°，

∴∠CAE＝∠DAC+∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°，

故答案為60°．