Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB的延長線與過C點的切線GC相交于點D，BE與AC相交于點F，且CB=CE．
求證：（1）BE∥DG；
（2）CB²-CF²=BF•FE．

Answer 1

分析：（1）欲證BE∥DG，需證得兩直線的同位角或內錯角相等，由等腰三角形的性質，易得∠CEB=∠CBE，由弦切角定理，得∠BCD=∠CEB，將等角代換后可證得兩直線平行；
（2）先將所求的等式進行適當變形，由相交弦定理，得BF•FE=AF•FC，因此所求的結論可化為CB²-CF²=AF•FC，化簡得：CB²=CF•AC，因此只需證明△CBF∽△CAB即可．

解答：證明：（1）∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE．
∵CG為⊙O切線，
∴∠BCD=∠E．
∴∠CBE=∠BCD．
∴BE∥DG．

（2）∵∠A=∠E，
∴∠A=∠CBE．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，

CB

CF

=

AC

CB

．
∴CB²=CF•AC=CF•（CF+AF）=CF²+CF•AF．
即CB²-CF²=AF•CF．
由相交弦定理，得AF•CF=BF•FE．
∴CB²-CF²=BF•FE．

點評：本題考查了平行線的判斷、相似三角形的性質及圓周角定理、等腰三角形的性質等知識．