Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0）．

（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；

（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接PC．當∠PCB＝∠ACB時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點D，點P的對應點為點Q，當OD⊥DQ時，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，拋物線頂點坐標是（2，﹣1）；（2）P（，）；（3）拋物線平移的距離為．

【解析】

（1）由拋物線的對稱性質得到點B的坐標，把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出方程組，通過解方程組求得系數的值；根據拋物線解析式求得頂點坐標；

（2）過點P作PN⊥x軸于N，過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M，構造矩形COMN和直角三角形，利用銳角三角函數的定義求得 ，故設PM=a，MC=3a，PN=3-a．易得P（3a，3-a），由二次函數圖象上點的坐標特征列出關于a的方程，通過解方程求得a的值，易得點P的坐標；

（3）設拋物線平移的距離為m，得y=（x-2）2-1-m．從而求得D（2，-1-m）．過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ延長線于點F．易推知∠EOD=∠QDF，則tan∠EOD=tan∠QDF，根據銳角三角函數定義列出關于m的方程，通過解方程求得m的值．

解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，點A的坐標為（1，0），

∴點B的坐標是（3，0）．

將A（1，0），B（3，0）分別代入y＝x2+bx+c，得

．

解得．

則該拋物線解析式是：y＝x2﹣4x+3．

由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，該拋物線頂點坐標是（2，﹣1）；

（2）如圖1，過點P作PN⊥x軸于N，過點C作CM⊥PN，交NP的延長線于點M，

∵∠CON＝90°，

∴四邊形CONM是矩形．

∴∠CMN＝90°，CO＝MN、

∴y＝x2﹣4x+3，

∴C（0，3）．

∵B（3，0），

∴OB＝OC＝3．

∵∠COB＝90°，

∴∠OCB＝∠BCM＝45°．

又∵∠ACB＝∠PCB，

∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．

∴tan∠OCA＝=tan∠PCM．

∴．

故設PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．

∴P（3a，3﹣a），

將其代入拋物線解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．

解得a1＝，a2＝0（舍去）．

∴P（，）．

（3）設拋物線平移的距離為m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．

∴D（2，﹣1﹣m）．

如圖2，過點D作直線EF∥x軸，交y軸于點E，交PQ延長線于點F，

∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，

∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．

∴∠EOD＝∠QDF．

∴tan∠EOD＝tan∠QDF，

∴．

∴．

解得m＝．

故拋物線平移的距離為．