Question

【題目】如果一個三角形有一邊上的中線與這邊的長相等，那么稱這個三角形為“和諧三角形”．

（1）請用直尺和圓規在圖1中畫一個以線段AB為一邊的“和諧三角形”；

（2）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，請你判斷△ABC是否是“和諧三角形”？證明你的結論；

（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長為1，動點M，N從點A同時出發，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動，記點M經過的路程為S，當△AMN為“和諧三角形”時，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；

（2）△ABC是“和諧三角形”，理由見解析；

（3）當△AMN為“和諧三角形”時，S的值為或.

【解析】解：（1）如圖1，

作線段AB的中點O，

②以點O為圓心，AB長為半徑畫圓，

③在圓O上取一點C（點E、F除外），連接AC、BC．

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如圖2，∠C=90°，AB=,BC=

，CD=1，在Rt△BCD中，

，∴中線BD=邊AC,

∴△ABC是“和諧三角形”；

（3）易知，點M在AB上時，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”，

當M在BC上時，連接AC交MN于點E，

（Ⅰ）當底邊MN的中線AE=MN時，如圖，

有題知AC=,MC=2-S，∴MN= (2-s)，CE= (2-S),

∵AE=MN，∴，S=，

（Ⅱ）當腰Am與它的中線NG相等，即AM=GN=AN時，

作NH⊥AM于H，如圖

∵NG=NA, NH⊥AM, ∴GH=AH=GN= ,在Rt△NHA中，

在Rt△NHM中，tan∠HMN=;

在Rt△AME中, tan∠AME ; ;

。

綜上，S=或時