Question

【題目】如圖1，拋物線與軸于點兩點，與軸交于點.直線經過點，與拋物線另一個交點為，點是拋物線上一動點，過點作軸于點，交直線于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在直線上方，且是以為腰的等腰三角形時，求點的坐標；

（3）如圖2，連接，以點為直角頂點，線段為較長直角邊，構造兩直角邊比為1：2的，是否存在點，使點恰好落在直線上?若存在，請直接寫出相應點的橫坐標（寫出兩個即可）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的坐標是或；（3）點的橫坐標為-3或2或、.

【解析】

（1）利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；
（2）先把C點代入直線CD中求出m的值，表示P（m，-m2+2m+3）、E（m，-m+3），
當△CPE是以CE為腰的等腰三角形時，分兩種情況：
①當CE=CP時，過C作CG⊥PF于G，根據OC=FG列方程解出即可；
②當CE=PE時，先表示CE、EG、CG的長，利用勾股定理得：CG2+EG2=CE2，列方程解出即可；
（3）先根據點P在拋物線上，G在直線y=x上設P（m，-m2+2m+3），G（a，a），
如圖3，作輔助線，構建兩個相似三角形，證明△PHG∽△BNP，則，由兩直角邊比為1：2列方程組解出橫坐標m；
如圖4，同理列方程組解出m的值．

解： ⑴將A（-1，0），C（0,3）代入得

解得：

所以拋物線的解析式是；

⑵把代入直線得：，∴直線的解析式為：，

設，

①當時，如上圖，在圖1中做輔助線，過作于，

∴，

∵，∴，∴，∵，

∴，解得：，

當時，，∴，

②當時，在中，，，

由勾股定理得：，，解得：（舍），，

當時，，∴，綜上所述，當是以為腰的等腰三角形時，點的坐標是或；

（3）

設P（m，-m2+2m+3），G（a，a），
如圖3，過B作BN∥y軸，過P作PH∥x軸，交于N，過G作GH⊥PN，垂足為H，則∠PHG=∠BNP=90°，
∴∠NBP+∠BPN=90°，
∵∠BPG=90°，
∴∠BPN+∠NPG=90°，
∴∠NBP=∠NPG，
∴△PHG∽△BNP，
∴，
∵，
∴，
∴

則，
解得：m1=-3，m2=2；

如圖4，過P作NH∥x軸，過G作GN⊥NH，過B作BH⊥NH，垂足分別為N、H，
同理得：△PNG∽△BHP，
∴，

∴解得：m=

綜上所述，相應點的橫坐標為-3或2或、.