Question

（1）請你任意寫出五個正的真分數：

 

、

 

、

 

、

 

、

 

．請給每個分數的分子和分母同加上一個正數得到五個新分數：

 

、

 

、

 

、

 

、

 

．
（2）比較原來每個分數與對應新分數的大小，可以得出下面的結論：一個真分數是

a

b

（a、b均為正數，a＜b）給其分子、分母同加上一個正數m，得

a+m

b+m

，則兩個分數的大小關系是：

a+m

b+m

 

a

b

．
（3）請你用文字敘述（2）中結論的含義：

 

．
（4）你能用圖形的面積說明這個結論嗎？
（5）解決問題：如圖所示，有一個長寬不等的長方形綠地，現給綠地四周鋪一條寬相等的小路，原來的綠地與現在鋪過小路后的綠地的長與寬的比值是否相等？為什么？
（6）這個結論可以解釋生活中的許多現象，解決許多生活與數學中的問題．請你再提出一個類似的數學問題，或舉出一個生活中與此結論相關的例子．

Answer 1

分析：（1）按題目要求進行解答即可．
（2）由（1）的結論可得到

a+m

b+m

＞

a

b

；可通過作差法來證明：
令

a+m

b+m

-

a

b

=

m(b-a)

b(b+m)

，由于b-a＞0，所以

m(b-a)

b(b+m)

＞0，因此上述結論是成立的．
（3）可表述為：給一正的真分數的分子、分母同加一個正數，得到的新分數大于原來的分數．
（4）可作出三個矩形，邊長分別為：a、b，a、m，m、b；然后用a、b、m分別表示出三個矩形的面積，根據它們的面積關系來判斷（2）的結論是否正確．
（5）由于綠地的形狀是長方形，即長、寬不相等，若長、寬同時加上相同的正數，根據（2）的結論可知長和寬的比值會改變．
（6）此題的答案不唯一，如a＞b，即

a

b

是假分數時，結論是否有變化等．

解答：解：（1）

1

2

、

1

4

、

1

6

、

1

8

、

1

9

，

2

3

、

2

5

、

2

7

、

2

9

、

1

5

．（答案不唯一，符合要求即可）
（2）

a+m

b+m

＞

a

b

；
（3）給一正的真分數的分子、分母同加一個正數，得到的新分數大于原來的分數；
（4）如圖所示，由a＜b，得S+S₁＞S+S₂，可以推出：

a+m

b+m

＞

a

b

．

（5）兩塊綠地的長與寬的比值不相等．
理由：設長方形的綠地的寬和長分別為a、b，且a＜b，若鋪設的路寬為m，
則鋪過小路后的寬和長分別為：a+m、b+m，由（2）的結論知：

a

b

＜

a+m

b+m

；
顯然比值是不相等的．
（6）數學問題舉例：
①若

a

b

是假分數，會有怎樣的結論？
②a、b不是正數，或不全為正數，情況如何？（答案不唯一）

點評：此題實際考查的是分式的混合運算，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．