Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，點P、點Q同時從點B出發，點P以2cm/s的速度沿B→A→C運動，終點為C，點Q以1cm/s的速度沿B→C運動，當點P到達終點時兩個點同時停止運動，設點P，Q出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2 ， 已知y與t的函數關系的圖象如圖2（曲線OM和MN均為拋物線的一部分），給出以下結論：①AC=6cm；②曲線MN的解析式為y=﹣ t2+ t（4≤t≤7）；③線段PQ的長度的最大值為 ；④若△PQC與△ABC相似，則t= 秒．其中正確的是（ ）

A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③

Answer 1

【答案】A
【解析】由圖2可得到t=4時，y= 48 5 ，

∴AB=2×4=8cm，

∵∠A=90°，BC=10cm，

∴AC=6cm，

故①正確；

②當P在AC上時，如圖3，過P作PD⊥BC于D，

此時： =7，

∴4≤t≤7，

由題意得：AB+AP=2t，BQ=t，

∴PC=14﹣2t，

sin∠C= ，

∴ = ，

∴PD= ，

∴y=S△BPQ= BQPD= t =﹣ ；

故②正確；

③當P與A重合時，PQ最大，如圖4，此時t=4，

∴BQ=4，

過Q作GH⊥AB于H，

sin∠ ，

∴ ，

∴QH= ，

同理：BH= ，

∴AH=8﹣ = ，

∴PQ= = = ；

∴線段PQ的長度的最大值為 ；

故③不正確；

④若△PQC與△ABC相似，點P只有在線段AC上，

分兩種情況：

PC=14﹣2t，QC=10﹣t，

i）當△CPQ∽△CBA，如圖5，則 ，

∴ ，

解得t=﹣8不合題意．

ii）當△PQC∽△BAC時，如圖5，

∴ ，

∴ ，

t= ；

∴若△PQC與△ABC相似，則t= 秒，

故④正確；

其中正確的有：①②④.

所以答案是：A．