Question

【題目】若 x 滿足 (9x)(x4)=4， 求 (4x)2+(x9)2 的值.

設 9x=a，x4=b， 則 (9x)(x4)=ab=4，a+b=(9x)+(x4)=5 ，

∴(9x)2+(x4)2=a2+b2=(a+b)22ab=522×4=13

請仿照上面的方法求解下面問題：

(1)若 x 滿足 (5x)(x2)=2， 求 (5x)2+(x2)2 的值

(2)已知正方形 ABCD 的邊長為 x ， E ， F 分別是 AD 、 DC 上的點，且 AE=1 ， CF=3 ，長方形 EMFD 的面積是 48 ，分別以 MF 、 DF 作正方形，求陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】(1)5;(2)28

【解析】

(1)設5－x=a，x－2=b，請仿照上面的方法求解即可；
(2)根據正方形ABCD邊長為x，進而表示出MF與DF，求出陰影部分面積即可．

解：(1)設 5－x=a，x－2=b，

則(5－x)(x－2)=ab=2，a+b=(5－x)+(x－2)=3，

∴(5－x) 2 +(x－2) 2 =(a+b) 2 －2ab=3 2－2×2=5；

(2)∵正方形 ABCD 的邊長為 x，AE=1，CF=3，

∴MF=DE=x－1，DF=x－3，

∴(x－1)(x－3)=48，

陰影部分的面積=FM 2 －DF 2 =(x－1) 2 －(x－3) 2 ．

設 x－1=a，x－3=b，則(x－1)(x－3)=ab=48，a－b=(x－1)－(x－3)=2，

∴a+b=14，

∴(x－1) 2 －(x－3) 2 =a 2 －b 2 =(a+b)(a-b)=14×2=28．

即陰影部分的面積是 28．