Question

【題目】如圖1，在直角坐標系xOy中，點A在y軸上，點B，點C在x軸上，點C在點B的右側，OA=2OB=2BC=2．

（1）點C的坐標是　 　；

（2）點P是x軸上一點，點P到AC的距離等于AC的長度，求點P的坐標；

（3）如圖2，點D是AC上一點，∠CBD=∠ABO，連接OD，在AB上是否存在一點Q，使QB=AB﹣OD，若存在，求點Q與點D的橫坐標之和，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）P（﹣2，0）或（6，0）；（3）點Q與點D的橫坐標之和為2或．

【解析】

（1）根據2OB=2BC=2,可得OB=BC=1,進而可求得OC=OB+BC=2,所以C（2,0）,

（2）如圖1,

根據OA=2,可得A（0,2）,根據C（2,0）由勾股定理可得:AC=2,

過點P作PD⊥AC于D,根據點P到AC的距離等于AC的長度,可得DP=AC=2，

再根據∠PDC=∠AOC,∠PCD=∠ACO,可證:△PCD∽△ACO,根據相似三角形的性質可得:

即,解得PC=4,進而求得:OP=PC+OC=4+2=6,所以P（6,0）或OP=PC﹣OC=4﹣2=2,即:P（﹣2,0）或（6,0）,

（3）如圖2,延長DB交y軸點E,可得∠DBC=∠OBE,

根據∠DBC=∠ABO,可得:∠OBC=∠OBA,根據OB⊥AE,可得OE=OA=2,求得E（0,﹣2）,

根據OB=1,可得B（1,0）,利用待定系數法求得:直線BD的解析式為y=2x﹣2①,

再根據A（0,2）,C（2,0）,可求得直線AC的解析式為y=﹣x+2②,聯立①②解得,x=,y=,

求出點D（,）,故OD=,根據A（0,2）,B（1,0）,可得直線AB的解析式為y=﹣2x+2,

設點Q（m,﹣2m+2）,由B（1,0）,利用勾股定理可得:BQ==|m﹣1|,由A（0,2）,B（1,0）,可求得:AB=,再根據QB=AB﹣OD,可得|m﹣1|=﹣=，

解得:m=或m=，進而可得:Q（,）或（,﹣）,所以點Q與點D的橫坐標之和為+=2或+=．

解:（1）∵2OB=2BC=2,

∴OB=BC=1,

∴OC=OB+BC=2,

∴C（2,0）,

故答案為:（2,0）,

（2）如圖1,

∵OA=2,

∴A（0,2）,

∵C（2,0）,

∴AC=2,

過點P作PD⊥AC于D,

∵點P到AC的距離等于AC的長度,

∴DP=AC=2，

∵∠PDC=∠AOC,∠PCD=∠ACO,

∴△PCD∽△ACO,

∴,

∴

∴PC=4,

∴OP=PC+OC=4+2=6，

∴P（6,0）或OP=PC﹣OC=4﹣2=2,

∴P（﹣2,0）,

即:P（﹣2,0）或（6,0）,

（3）存在,理由:如圖2,

延長DB交y軸點E,

∴∠DBC=∠OBE,

∵∠DBC=∠ABO,

∴∠OBC=∠OBA,

∵OB⊥AE,

∴OE=OA=2,

∴E（0,﹣2）,

∵OB=1,

∴B（1,0）,

∴直線BD的解析式為y=2x﹣2①,

∵A（0,2）,C（2,0）,

∴直線AC的解析式為y=﹣x+2②,

聯立①②解得,x=,y=,

∴D（,）,

∴OD=,

∵A（0,2）,B（1,0）,

∴直線AB的解析式為y=﹣2x+2,

設點Q（m,﹣2m+2）,

∵B（1,0）,

∴BQ==|m﹣1|,

∵A（0,2）,B（1,0）,

∴AB=,

∵QB=AB﹣OD,

∴|m﹣1|=﹣=，

∴m=或m=，

∴Q（,）或（,﹣）,

∴點Q與點D的橫坐標之和為+=2或+=．