Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，連接PA交⊙O于點C，連接BC．
（1）求證：∠BAC=∠CBP；
（2）求證：PB2=PCPA；
（3）當AC=6，CP=3時，求sin∠PAB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，

∴∠ACB=∠ABP=90°，

∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，

∴∠BAC=∠CBP

（2）解：∵∠PCB=∠ABP=90°，

∠P=∠P，

∴△ABP∽△BCP，

∴ ，

∴PB2=PCPA

（3）解：∵PB2=PCPA，AC=6，CP=3，

∴PB2=9×3=27，

∴PB=3 ，

∴sin∠PAB= = = ．

【解析】（1）根據已知條件得到∠ACB=∠ABP=90°，根據余角的性質即可得到結論；（2）根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；（3）根據三角函數的定義即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．