Question

【題目】如圖1，已知長方形ABCD，AB=CD， BC=AD，P為長方形ABCD邊上的動點，動點P從A出發，沿著A→B→C→D運動到D點停止，速度為2cm/s，設點P用的時間為x秒，△APD的面積為y，y和x的關系如圖2所示.

（1）AB=________cm, BC=______cm;

（2）寫出時,y與x之間的關系式；

（3）當y=12時，求x的值；

（4）當P在線段BC上運動時，是否存在點P使得△APD的周長最小，若存在，求出此時∠APD的度數，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=6cm，BC=12cm；（2）y=12x；（3）x=1或11；（4）存在，此時∠APD =90°

【解析】（1）根據函數圖象可得從A到B共用了3秒，從B到C用了6秒，速度為2cm/s,則可計算出AB、BC的長度；

（2）由三角形面積公式可得: ，△APD的面積=和AP＝2x可得出y與x之間的關系式；

（3）分情況討論，當點P在AB和CD上時，求得x的值即可;

（4）作A關于直線BC的對稱點A′，連接A′D與BC交于點P，根據兩邊之和大于第三邊可知A′D最小，即△APD的周長最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

（1）∵由函數圖象可得：點P從A到B共用了3秒，從B到C用了6秒，點P的速度為2cm/s

∴AB=6cm, BC=12cm;

（2）如圖所示：

當時,點P在線段AB上，AP＝2x,

∴S△ADP=.

（3）如圖所示：

分兩種情況：
①當P在AB上時，如圖所示，當y=3時，3=3x，x=1，

②當P在CD上時，如圖所示，則AB+BC+CP=t，

∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=PDAD=×6×（12-t）=3（12-t），
當y=3時，3=3（12-t），
t=11，
綜上所述，當y=3時，x的值是1秒或11秒；

（4）存在，如圖所示，延長AB至A′，使AB=A′B，連接A′D，交BC于P，連接AP，
此時△APD的周長最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂線，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．