Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在邊AC上，⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點(diǎn)，與邊AC交于E點(diǎn)，弦CF與AB平行，與DO的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)．

（1）求證：點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；

（2）若E是的中點(diǎn)，BC＝a，寫出求AE長(zhǎng)的思路．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）求AE長(zhǎng)的思路見解析．

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AB于D．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂徑定理即可得到結(jié)論；

（2）連接DC，DF．由M為CF的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，可以證明△DCF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠1=30°；根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC=BD=a．推出△BCD為等邊三角形；解直角三角形即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，

∴OD⊥AB于D．

∴∠ODB＝90°．

∵CF∥AB，

∴∠OMF＝∠ODB＝90°．

∴OM⊥CF．

∴點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；

（2）思路：

連接DC，DF．

①由M為CF的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，

可以證明△DCF是等邊三角形，且∠1＝30°；

②由BA，BC是⊙O的切線，可證BC＝BD＝a．

由∠2＝60°，從而△BCD為等邊三角形；

③在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝BD＝a，可以求得AD＝a，CO＝，OA＝；

④AE＝AO﹣OE＝﹣＝．

解：連接DC，DF，

由（1）證得M為CF的中點(diǎn)，DM⊥CF，

∴DC＝DF，

∵E是的中點(diǎn)，

∴CE垂直平分DF，

∴CD＝CF，

∴△DCF是等邊三角形，

∴∠1＝30°，

∵BC，AB分別是⊙O的切線，

∴BC＝BD＝a，∠ACB＝90°，

∴∠2＝60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠A＝30°，

∴OD＝，AO＝，

∴AE＝AO﹣OE＝．