Question

【題目】已知等邊△ABC，點D和點B關于直線AC軸對稱．點M（不同于點A和點C）在射線CA上，線段DM的垂直平分線交直線BC的于N，

（1）如圖，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于E，若CE＝5，求BC的長；

（2）如圖，若點M在線段AC上，求證：△DMN為等邊三角形；

（3）連接CD，BM，若，直接寫出 ．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）∠DCA=60°（3）或1

【解析】試題分析：（1）連接CD，構造含30°角的直角三角形DCE，根據BC=DC進行計算即可；

（2）過點N作NG⊥CD于G，作NH⊥AC于H，得到∠H=∠DGN=90°，先判定Rt△MNH≌Rt△DNG（HL），得到∠CMQ=∠NDQ，進而得出∠2=∠5=60°，最后結合NM=ND，判定△DMN為等邊三角形即可；

（3）需要分兩種情況進行討論：當點M在線段AC上時，連接AD，BD；當點M在CA延長線上時，連接AD，分別根據等高三角形的面積之比等于底邊之比進行計算即可．

試題解析：解：（1）如圖1，連接CD，∵△ABC是等邊三角形，點D和點B關于直線AC軸對稱，∴BC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，∴∠DCE=60°．∵DE⊥CE，CE=5，∴∠CDE=30°，∴CD=2CE=10，∴BC=10；

（2）如圖2，過點N作NG⊥CD于G，作NH⊥AC于H，則∠H=∠DGN=90°．∵△ABC是等邊三角形，點D和點B關于直線AC軸對稱，∴∠1=∠2=60°，∴∠3=60°=∠4，即NC平分∠GCH，∴NG=NH．∵線段DM的垂直平分線交直線BC于點N，∴NM=ND．在Rt△MNH和Rt△DNG中，∵NM=ND，NG=NH，∴Rt△MNH≌Rt△DNG（HL），∴∠CMQ=∠NDQ．又∵∠MQC=∠DQN，∴∠2=∠5=60°．∵NM=ND，∴△DMN為等邊三角形；

（3）①如圖3，當點M在線段AC上時，連接AD，BD，則BD⊥AC，BP=DP．∵△ACD和△MND都是等邊三角形，∴AD=CD，∠ADM=∠CDN，MD=ND，∴△ADM≌△CDN，∴AM=CN．∵ =3，∴，∴ ，∴，即，∴ ，∴；

②如圖4，當點M在CA延長線上時，連接AD，同理可得，△ADM≌△CDN，∴AM=CN．∵ =3，∴，∴，即，∴BN=CN，∴ =1．

綜上所述， =或1．