Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，AE∥BD，且AE＝BD．

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）連接CE交AB于點F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)由AE∥BD，且AE＝BD可得四邊形AEBD是平行四邊形,再根據AB＝AC，D為BC中點,可知AD⊥BC即可得出四邊形AEBD是矩形.

(2)根據30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求出EB,再根據矩形的性質求出BC即可利用勾股定理求出EC,由題意可證△AEF∽△BCF,再根據對應邊成比例即可求出結果.

（1）證明：∵AE∥BD，AE＝BD，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵AB＝AC，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴四邊形AEBD是矩形．

（2）解：∵四邊形AEBD是矩形，

∴∠AEB＝90°，

∵∠ABE＝30°，AE＝2，

∴BE＝2，BC＝4，

∴EC＝2，

∵AE∥BC，

∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴EFEC=．