Question

【題目】如圖，是的對角線，，的邊，，的長是三個連續偶數，，分別是邊，上的動點，且，將沿著折疊得到，連接，．若為直角三角形時，的長為_______．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

由，邊，，的長是三個連續偶數，可知AB=6，AC=8，BC=10，分三種情況：①當∠PAD=90°，由平行四邊形的性質得出CD=AB=6，AD=BC=10，AD∥BC，證明△ABP∽△CBA，得出，求出BP，由軸對稱的性質即可得出結果；
②∠APD=90°，當點P與C重合時，得出該情況不成立；
③當點P與C不重合時，由A、P、C、D四點共圓可知E 、A重合，即可得到BF．

解：由，邊，，的長是三個連續偶數，可知AB=6，AC=8，BC=10，

分三種情況：
①當∠PAD=90°，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=6，AD=BC=10，AD∥BC，
∴∠APB=∠PAD=90°，

∵∠B=∠B，∠APB=∠BAC=90°，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
解得：BP=，
∵EF⊥BC，△BEF與△PEF關于直線EF對稱，
∴BF=PF=BP=；

②當∠APD=90°時，點P與C重合時，如圖2所示：

∵AB∥CD，
∴∠APD=∠ACD=∠BAC=90°，
∵E在AB上，

∴E和A重合，

又∵AB≠AC，
則△BEF與△PEF關于直線EF不對稱，
∴該情況不存在；
③當點P與C不重合時，∠APD=90°，如圖3所示：

∵∠APD=∠ACD=90°，

∴A、P、C、D四點共圓，

∴∠APC+∠ADC=180°，

由平行四邊形ABCD可知，∠B=∠ADC，

由沿著折疊得到可知，∠B=∠EPF，

∴∠EPF+∠APC=180°，即A、E重合，

此時應為圖4，

由①中BP=可知，此圖中BF=；
綜上所述，若△APD是直角三角形，則BF的長為或；
故答案為：或．