Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D．

（1）求作⊙O，使得點O在邊AB上，且⊙O經過B、D兩點（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）證明AC與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）作BD的垂直平分線交AB于O，再以O點為圓心，OB為半徑作圓即可；

（2）證明OD∥BC得到∠ODC=90°，然后根據切線的判定定理可判斷AC為⊙O的切線．

解：（1）如圖，⊙O為所作；

（2）證明：連接OD，如圖，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠ACB，
又∠ACB=90°，
∴∠ODA=90°，
即OD⊥AC，
∵點D是半徑OD的外端點，
∴AC與⊙O相切．