Question

【題目】如圖①，在中，點分別在上，且．設的邊上的高為，的邊上的高為．

（1）若、的面積分別為3，1，則 ；

（2）設、、四邊形的面積分別為，求證：；

（3）如圖②，在中，點分別在上，點在上，且， ． 若、、的面積分別為3， 7， 5，求的面積．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析；（3）27

【解析】

（1）根據可證∽，根據相似三角形的性質即可得解；

（2）設AD＝a，BD＝b，根據相似三角形的性質利用a、b分別把、表示出來，進而可表示出，然后計算出的結果，即可得證；

（3）將△BDF和△CEG拼接成新△BDH，易得△BDH∽△DAE∽△BAC，且S△BDH＝12，利用相似三角形的性質可得AD:BD＝1:2，進而可得AD：AB＝1:3，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得解．

（1）解：∵，

∴∠AFD＝∠C，∠A＝∠EFC，

∴∽，

∴，

∵、的面積分別為3，1，

∴，

∴，

故答案為：；

（2）證明：設AD＝a，BD＝b，

∵，

∴∽，∽，

∴，，

∴，，

∴

∴；

（3）∵，

∴四邊形DFGE為平行四邊形，

∴DF＝EG，

∴可將△BDF和△CEG拼接成新△BDH，

則△BDH∽△DAE∽△BAC，且S△BDH＝S△BDF＋S△EGC＝7＋5＝12，

∵△BDH∽△DAE，

∴，

∴，

∴，

∵△DAE∽△BAC，

∴，

∴，

∴ΔABC的面積為27．