Question

【題目】等腰△BCD中，∠DCB＝120°，點E滿足∠DEC＝60°．

（1）如圖1，點E在邊BD上時，求證：ED＝2BE；

（2）如圖2，過點B作DE的垂線交DE的延長線于點F，試探究DE和EF的數量關系，并證明；

（3）若∠DEB＝150°，直接寫出BE，DE和EC的關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE＝2EF．理由見解析；（3）BE2＝EDEC．理由見解析．

【解析】

（1）先根據等腰三角形性質和三角形外角的性質得：BC=CD和BE=CE，根據三角形的內角和定理證明∠DCE=180°-30°-60°=90°，由直角三角形30度角的性質可得結論．

（2）結論：DE=2EF．如圖2中，作DH⊥EC交EC的延長線于H，連接FH．想辦法證明DE=2EH，EF=EH即可解決問題．

（3）結論：BE2=EDEC．證明△DEB∽△BEC可得結論．

（1）證明：如圖1中，

∵等腰△BCD中，∠DCB＝120°，

∴BC＝CD，

∴∠B＝∠D＝30°，

∵∠DEC＝60°＝∠B+∠ECB，

∴∠ECB＝30°，

∴BE＝CE，

△DEC中，∠DCE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∵∠D＝30°，

∴ED＝2EC，

∴ED＝2BE；

（2）解：結論：DE＝2EF．

理由：如圖2中，作DH⊥EC交EC的延長線于H，連接FH．

∵∠DHE＝90°，∠DEH＝60°，

∴∠EDH＝30°，

∵CD＝CB，∠BCD＝120°，

∴∠CBD＝∠BDC＝30°，

∴∠BDC＝∠EDH，

∴∠BDF＝∠CDH，

∵BF⊥DF，

∴∠BFD＝∠H＝90°，

∴△DFB∽△DHC，

∴，

∴，

∵∠BDC＝∠FDH，

∴△BDC∽△FDH，

∴∠DBC＝∠DFH＝30°，

∵∠DEH＝∠EFH+∠EHF＝60°，

∴∠EFH＝∠EHF＝30°，

∴EF＝EH，

在Rt△DEH中，∵∠EDH＝30°，

∴DE＝2EFH，

∴DE＝2EF．

（3）解：結論：BE2＝EDEC．

理由：如圖3中，

∵∠BED＝150°，∠DEC＝60°，

∴∠BEC＝360°∠BED﹣∠DEC＝360°﹣150°﹣60°＝150°，

∴∠BED＝∠BEC，

∴∠EBD+∠EDB＝30°，

∵∠EBD+∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠EBC，

∴△DEB∽△BEC，

∴，

∴BE2＝DEEC．