Question

【題目】如圖，點B在線段AC上，點E在BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝BD，BE＝BC，M，N分別是AE，CD的中點，連接MN，請判斷△MBN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】△MBN是等腰直角三角形，理由見詳解．

【解析】

根據SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE＝DC，再根據直角三角形斜邊直線性質求得BM＝BN，結合已知條件可證明△BAM≌△BDN，然后全等三角形的性質可得到∠ABM＝∠DBN，最后由∠MBE+∠DBN＝90°可得到問題的答案．

解：△MBN是等腰直角三角形．理由如下：

在△ABE和△DBC中

，

∴△ABE E≌△DBC（SAS），

∴AE＝CD，

∵M、N分別是AE、CD的中點，

∴BM＝AE＝AM，BN＝DC＝DN，

∴BM＝BN＝AM＝DN，

在△ABM和△DBN中，

，

∴△BAM≌△BDN（SSS），

∴∠ABM＝∠DBN，

∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°

∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，

∴∠MBE+∠DBN＝90°，

即：BM⊥BN，

∴BM＝BN，BM⊥BN，

∴△MBN是等腰直角三角形．