Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2+2x-3=0的兩根（AO＞OC），直線AB與y軸交于D，D點(diǎn)的坐標(biāo)為

（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)E，連接EB，使得以點(diǎn)A、E、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P、Q分別是AB和AE上的動點(diǎn)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從A、E同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，問幾秒時以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似．

Answer 1

【答案】（1）（，0）（2）y=x+（3）t=時以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似

【解析】

（1）由題意可求點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）由題意可求點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求AC，BC，AB的長，由Rt△ABC∽Rt△AEB，可得，可求AE的長，即可求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）分△APQ∽△ABE，△APQ∽△AEB兩種情況討論，可求t的值．

解:∵點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2+2x-3=0的兩根

∴點(diǎn)A、C的橫坐標(biāo)分別為-3，1

∴點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)C（1，0）

設(shè)直線AB解析式：y=kx+，且過點(diǎn)A

∴0=-3k+

∴k=

∴直線AB解析式：y=x+

（2）如圖：過B作BE⊥AB交x軸于E，

當(dāng)x=1時，則y=+=3

∴點(diǎn)B（1，3）

∴AC=4，BC=3

∴AB=5

∵Rt△ABC∽Rt△AEB

∴

∴

∴AE=

∴OE=-3=

∴點(diǎn)E（，0）

（3）由題意可得：AP=t，AQ=-t

如圖：

若△APQ∽△ABE

∴

∴

∴t=

如圖：

若△APQ∽△AEB

∴

∴

∴t=

綜上所述：t=時以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似．