Question

【題目】有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形

（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B與∠C的度數之和；

（2）如圖2，銳角△ABC內接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD=BO，∠OBA的平分線交OA于點E，連結DE并延長交AC于點F，∠AFE=2∠EAF．求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G，當DH=BG=2時，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1) ∠B與∠C的度數和為120°；(2)詳見解析；（3）8.

【解析】

根據題意得出∠B=∠D,∠C=∠A,代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可;

求出△BED≌△BEO ,根據全等得出∠BDE=∠BOE ,連接OC,設∠EAF=α,則∠AFE=2∠EAF=2α,求出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α,∠AOC=180°-2α,即可得出等答案;

過點O作OM⊥BC,再由角與角之間關系得出邊與邊之間關系，進而得出解.

（1）在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B與∠C的度數和為120°；

（2）證明：∵在△BED和△BEO中BD＝BO，∠EBD＝∠EBO，BE＝BE∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，連接OC，設∠EAF=α，則∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四邊形DBCF是半對角四邊形；

（3）解：過點O作OM⊥BC于M，∵四邊形DBCF是半對角四邊形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∠DBO=30°，∵DH=BG=2時，BD=4，直徑=8.