Question

【題目】已知，在四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的∠ABC的平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構成的銳角，若∠A＝α，∠D＝β，

（1）如圖①，當α+β＞180°時，∠F＝____（用含α，β的式子表示）；

（2）如圖②，當α+β＜180°時，請在圖②中，畫出∠F，且∠F＝___（用含α，β的式子表示）；

（3）當α，β滿足條件___時，不存在∠F．

Answer 1

【答案】（α+β）﹣90°； 90°﹣（α+β）； α+β＝180°．

【解析】

（1）根據四邊形的內角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根據角平分線的定義可得∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；

（2）與（1）的思路相同，得到∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，由外角性質，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通過等量代換，求解即可；

（3）根據∠F的表示，∠F為0時，不存在．

解：（1）如圖：

由四邊形內角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，

∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，

由三角形的外角性質得，∠FCE＝∠F+∠FBC，

∵BF、CF分別是∠ABC和∠DCE的平分線，

∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，

∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，

∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，

∵∠A＝α，∠D＝β，

∴∠F＝（α+β）﹣90°；

（2）如圖3，

由（1）可知，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，

∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，

∴∠FCE＝∠F+∠FBC，

∵∠FBC＝（360°﹣∠ABC），∠FCE＝180°﹣∠DCE，

∴∠F=∠FCE﹣∠FBC=180°﹣（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）﹣（360°﹣∠ABC），

∴∠F=90°﹣（∠A+∠D）

∴∠F＝90°﹣（α+β）；

（3）當α+β＝180°時，

∴∠F＝90°﹣，

此時∠F不存在．