Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點，以DB為直徑的⊙O經過AB的中點E，交AD的延長線于點F，連接EF.

(1)求證：∠1＝∠F；

(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3

【解析】試題分析：（1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點，得到DA=DB，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠B等量代換即可得到結論；（2）根據等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根據勾股定理得到BC==8，設CD=x，則AD=BD=8﹣x，根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）連接DE， ∵BD是⊙O的直徑， ∴∠DEB=90°， ∵E是AB的中點， ∴DA=DB，

∴∠1=∠B， ∵∠B=∠F， ∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F， ∴AE=EF=2， ∴AB=2AE=4，

在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4， ∴BC==8，

設CD=x，則AD=BD=8﹣x， ∵AC2+CD2=AD2， 即42+x2=（8﹣x）2， ∴x=3，即CD=3．