Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為4，E，F分別是AB，AD邊上的動點，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列結論：①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，則． 其中正確結論的序號有________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①易證△ABC為等邊三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，結合已知條件BE=AF可證△BEC≌△AFC；②得FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，進而可得結論；③證明∠AGE=∠BFC則可得結論；④分別證明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出結論．

在四邊形是菱形中，

∵，

∴

∵

∴

∴△ABC為等邊三角形，

∴

又，

∴，故①正確；

∴，

∴∠FCE=∠ACB=60°,

∴為等邊三角形，故②正確；

∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，

又∵∠CEF=∠CAB=60°,

∴∠BEC=∠AGE，

由①得，∠AFC=∠BEC，

∴∠AGE=∠AFC，故③正確；

∴∠AEG=∠FCG

∴△AEG∽△FCG，

∴，

∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG

∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，

∴△ACF∽△FCG，

∴

∴

∵AF=1，

∴BE=1，

∴AE=3，

∴，故④正確．

故答案為：①②③④．