Question

【題目】如圖所示，以的邊為直徑作，點在上，是的弦，，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3），，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，首先根據題意得出，由此證明，然后利用平行線性質進一步得出，據此即可證明結論；

（2）根據為直徑可知，然后進一步利用進行等量代換，從而得出，據此進一步即可證明結論；

（3）首先在Rt△BFG中利用勾股定理得出BF的長，然后根據平行線性質結合題意得出，再利用三角函數在Rt△CFE中求出EF的長，據此進一步計算即可得出答案.

（1）證明：

如圖，連接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是的切線；

（2）證明：

∵為直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴

∵，

∴，

∴；

（3）∵，

∴△BFG為直角三角形，

∵在Rt△BFG中，，，

∴，，

∵，

∴，

在Rt△CFE中：，

，

∴，

∴．