Question

【題目】探究題
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
下面是一道例題及其解答過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
如圖①在等邊△ABC內(nèi)部，有一點(diǎn)P，若∠APB=150°．求證：AP2+BP2=CP2

證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形
∴∠APP′=60° PA=PP′PC=
∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°
∴P′P2+BP2=
即PA2+PB2=PC2
（2）類比延伸：
如圖②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APB=135°，試判斷線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）聯(lián)想拓展：
如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）2+PB2=PC2 ， 請(qǐng)直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】
（1）P′B；P′B2
（2）

解：關(guān)系式為：2PA2+PB2=PC2

證明如圖②：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，

則△APP′為等腰直角三角形

∴∠APP′=45°PP′= PA，PC=P′B，

∵∠APB=135°

∴∠BPP′=90°

∴P′P2+BP2=P′B2，

∴2PA2+PB2=PC2

（3）

解：k= ．

證明：如圖③

將△APC 繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過點(diǎn)A作AH⊥PP′，

可得∠APP′=30°PP′= PA，PC=P′B，

∵∠APB=60°，

∴∠BPP′=90°，

∴P′P2+BP2=P′B2，

∴（ PA）2+PB2=PC2

∵（kPA）2+PB2=PC2，

∴k= ．

【解析】解：（1）PC=P′B
P′P2+BP2=P′B2 ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素才能正確解答此題．