Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交BC于點E，交AC于點F，過點C作CG⊥AB交AB于點G，交AE于點H，過點E的弦EP交AB于點Q（EP不是直徑），點Q為弦EP的中點，連結BP，BP恰好為⊙O的切線．

（1）求證：BC是⊙O的切線．

（2）求證：＝．

（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四邊形CHQE的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）45

【解析】

（1）連接OE，OP，根據線段垂直平分線的性質得到PB＝BE，根據全等三角形的性質得到∠BEO＝∠BPO，根據切線的判定和性質定理即可得到結論．

（2）根據平行線和等腰三角形的性質即可得到結論．

（3）根據垂徑定理得到EP⊥AB，根據平行線和等腰三角形的性質得到∠CAE＝∠EAO，根據全等三角形的性質得到CE＝QE，推出四邊形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：連接OE，OP，

∵PE⊥AB，點Q為弦EP的中點，

∴AB垂直平分EP，

∴PB＝BE，

∵OE＝OP，OB＝OB，

∴△BEO≌△BPO（SSS），

∴∠BEO＝∠BPO，

∵BP為⊙O的切線，

∴∠BPO＝90°，

∴∠BEO＝90°，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切線．

（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE＝∠OEA，

∵OA＝OE，

∴∠EAO＝∠AEO，

∴∠CAE＝∠EAO，

∴．

（3）解：∵AD為的⊙O直徑，點Q為弦EP的中點，

∴EP⊥AB，

∵CG⊥AB，

∴CG∥EP，

∵∠ACB＝∠BEO＝90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE＝∠AEO，

∵OA＝OE，

∴∠EAQ＝∠AEO，

∴∠CAE＝∠EAO，

∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，

∴△ACE≌△AQE（AAS），

∴CE＝QE，

∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，

∴∠CEH＝∠AHG，

∵∠AHG＝∠CHE，

∴∠CHE＝∠CEH，

∴CH＝CE，

∴CH＝EQ，

∴四邊形CHQE是平行四邊形，

∵CH＝CE，

∴四邊形CHQE是菱形，

∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，

∵AC＝15，

∴AG＝9，

∴CG＝＝12，

∵△ACE≌△AQE，

∴AQ＝AC＝15，

∴QG＝6，

∵HQ2＝HG2+QG2，

∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，

解得：HQ＝，

∴CH＝HQ＝，

∴四邊形CHQE的面積＝CHGQ＝×6＝45．