Question

【題目】在數學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過點的直線折疊，使得點落在上的點處，折痕為；再將分別沿折疊，此時點落在上的同一點處．請完成下列探究：

的大小為__________；

當四邊形是平行四邊形時的值為__________．

Answer 1

【答案】30

【解析】

（1）根據折疊得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，進而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折疊，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；

（2）根據題意得到DC∥AP，從而證明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，結合（1）中結論，設QR=a，則AP=2a，由勾股定理表達出AB=AQ=即可解答．

解：（1）由題意可知，∠D+∠C=180°，

∴AD∥BC，

由折疊可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，

∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，

∴∠B=90°，則∠A=180°-∠B=90°，

由折疊可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，

∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，

故答案為：30；

（2）若四邊形APCD為平行四邊形，則DC∥AP，

∴∠CQP=∠APQ，

由折疊可知：∠CQP=∠PQR，

∴∠APQ=∠PQR，

∴QR=PR，

同理可得：QR=AR，即R為AP的中點，

由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，

設QR=a，則AP=2a，

∴QP=，

∴AB=AQ=，

∴，

故答案為：．