Question

某旅游勝地欲開發一座景觀山，從山的側面進行勘測，迎面山坡線ABC由同一平面內的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向下，以過山腳（點C）的水平線為x軸、過山頂（點A）的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米），已知AB所在拋物線的解析式為y=-x²+8，BC所在拋物線的解析式為y=（x-8）²，且已知B（m，4）。

（1）設P（x，y）是山坡線AB上任意一點，用y表示x，并求點B的坐標；
（2）從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階，這種臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）。
①分別求出前三級臺階的長度（精確到厘米）；
②這種臺階不能一直鋪到山腳，為什么？
（3）在山坡上的700米高度（點D）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站．索道的起點選擇在山腳水平線上的點E處，OE=1600（米），假設索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為y=（x-16）²，試求索道的最大懸空高度。

Answer 1

解：（1）∵P（x，y）是山坡線AB上任意一點， ∴ ∴x2=4（8-y）， ∵B（m，4）， ∴ ∴B（4，4）。 （2）在山坡線AB上，，A（0，8） ①令y0=8，得x0=0；令y1=8-0.002=7.998 得 ∴第一級臺階的長度為x1-x0=0.08944（百米）≈894（厘米） 同理，令y2=8-2×0.002、y3=8-3×0.002， 可得x2≈0.12649、x3≈0.15492 ∴第二級臺階的長度為x2-x1=0.03705（百米）≈371（厘米） 第三級臺階的長度為x3-x2=0.02843（百米）≈284（厘米）。 ②取點B（4，4），又取y=4+0.002 則 ∵4-3.99900=0.001＜0.002 ∴這種臺階不能從山頂一直鋪到點B，從而就不能一直鋪到山腳 （3）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0） 由圖可知，只有當索道在BC上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值 索道在BC上方時 懸空高度 當時，ymax= ∴索道的最大懸空高度為米。