Question

【題目】已知拋物線的不等式為y=﹣x2+6x+c．
（1）若拋物線與x軸有交點，求c的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸兩個交點的橫坐標分別為x1 ， x2 ． 若x12+x22=26，求c的值．
（3）若P，Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點，PA，QB都垂直于x軸，垂足分別為A，B，且△OPA與△OQB全等．求證：c＞﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與x軸有交點，

∴b2﹣4ac≥0，

∴36+4c≥0，

∴x≥﹣9

（2）

解：∵x1+x2=6，x1x2=﹣c，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=36+2c=26

∴c=﹣5

（3）

證明：∵△OPA≌△QOB，

∴OA=BQ，AP=OB，

∴可以設P（m，n），則Q（n，m）

將P（m，n），Q（n，m）代入原解析式中得： ，

①﹣②得：n2﹣m2+6m﹣6n=n﹣m

∴n2﹣m2+7m﹣7n=0，

∴（n﹣m）（n+m﹣7）=0，

∴m=n或m=7﹣n，

∵m，n不相等，

∴m=7﹣n，

將m=7﹣n代入①得：n2﹣7n+7﹣c=0，

∵b2﹣4ac＞0，

∴49﹣4（7﹣c）＞0，

c＞﹣ ．

【解析】（1）由題意△≥0，列出不等式即可解決問題．（2）利用根與系數關系，列出方程即可解決問題．（3）設P（m，n），則Q（n，m），列出方程組，求出m與n的關系，得到關于n的方程，根據判別式大于0，即可解決問題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解根與系數的關系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商)．