Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（不與C，D兩點重合），連接BE，過點C作CH⊥BE于點F，交對角線BD于點G，交AD邊于點H，連接GE，

（1）求證：△DHC≌△CEB；

（2）如圖2，若點E是CD的中點，當BE＝8時，求線段GH的長；

（3）設正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當的值為時，的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）GH＝；（3）．

【解析】

(1)可得∠CHD=∠BEC，根據AAS可證明△DHC≌△CEB．

(2)由DH∥BC，可得，則GC=2GH，可求出GH的長；

(3)設S△DGH=9a，則S△BCG=49a，S△DCG=21a，求出S1和S2即可得出答案．

(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=BC，∠HDC=∠BCE=90°，

∴∠DHC+∠DCH=90°，

∵CH⊥BE，

∴∠EFC=90°，

∴∠ECF+∠BEC=90°，

∴∠CHD=∠BEC，

∴△DHC≌△CEB(AAS)．

(2)解：∵△DHC≌△CEB，

∴CH=BE，DH=CE，

∵CE=DE=CD，CD=CB，

∴DH=BC，

∵DH∥BC，

∴，

∴GC=2GH，

設GH=x，則，則CG=2x，

∴BE=3x=8，

∴x=．

即GH=；

(3)∵，

∴，

∵DH=CE，DC=BC，

∴，

∵DH∥BC，

∴，，

∴，，

設S△DGH=9a，則S△BCG=49a，S△DCG=21a，

∴S△BCD=49a+21a=70a，

∴S1=2S△BCD=140a，

∵S△DEG：S△CEG=4：3，且S△DCG=21a，

∴S△DEG=12a，

∴S2=12a+9a=21a．

∴．

故答案為：．